课程名称：高等数学

日期：2023年11月15日

题目描述：证明函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)在区间\([1,3]\)上是否存在局部极值，并求出该极值。
解答：
- 通过求导数\(f'(x) = 2x - 4\)，令其等于0，得到\(x = 2\)。
- 验证\(f''(x) = 2\)，由于\(f''(x) > 0\)，因此\(x = 2\)是局部极小值点。
- 计算极小值\(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\)。
签收状态：已签收，学生张小明于2023年11月15日确认完成。

题目描述：给定矩阵\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，求矩阵\(A\)的特征值和特征向量。
解答：
- 解特征方程\(\det(A - \lambda I) = 0\)，得到\(\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0\)。
- 求得特征值\(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = 3\)。
- 对应特征值\(\lambda_1 = 2\)，求得特征向量\(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)；对应特征值\(\lambda_2 = 3\)，求得特征向量\(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。
签收状态：已签收，学生张小明于2023年11月15日确认完成。

题目描述：袋中有5个红球，3个蓝球，不放回地连续抽取两次，求第一次抽到红球且第二次抽到蓝球的概率。
解答：
- 第一次抽到红球的概率为\(P(\text{红球}) = \frac{5}{8}\)。
- 抽出红球后，袋中剩下4个红球和3个蓝球，第二次抽到蓝球的概率为\(P(\text{蓝球}|\text{红球}) = \frac{3}{7}\)。
- 联合概率\(P(\text{红球且蓝球}) = P(\text{红球}) \times P(\text{蓝球}|\text{红球}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\)。
签收状态：已签收，学生张小明于2023年11月15日确认完成。